Научная работа по теме «Золотое сечение»

Выполнили ученицы 9«В» класса Миняйло Екатерина и Пасько Янина

Научный руководитель Бухарина Елена Валентиновна

Город  Краснознаменск

Гимназия №1

Год 2011

План проекта:

•       ввести понятие «золотое сечение»

•       геометрическое построение «золотого сечения»

•       построение правильного пятиугольника

•       пентаграмма – символ «золотого сечения»

•       «золотое сечение» в:   - природе

                                   - искусстве

                                          - архитектуре

•      «золотое сечение» и мода

•      Практическое приложение

Золотое сечение

Человек различает окружающие его предметы по форме. Интерес к форме какого-либо предмета может быть продиктован жизненной необходимостью, а может быть вызван красотой формы. Форма, в основе построения которой лежат сочетание симметрии и золотого сечения, способствует наилучшему зрительному восприятию и появлению ощущения красоты и гармонии. Целое всегда состоит из частей, части разной величины находятся в определенном отношении друг к другу и к целому. Принцип золотого сечения – высшее проявление структурного и функционального совершенства целого и его частей в искусстве, науке, технике и природе.

«Золотое сечение» деления  в крайнем и среднем отношении – деление отрезка с на две части таким образом, что большая часть b является средней пропорциональной между всем отрезком c и меньшей его частью a.

Алгебраическое построение «золотого сечения» АВ=а сводится к решению уравнения a:x=x:(a-x), где x=b, откуда  x=    =0,62a.

В дошедшей до нас античной литературе «золотое сечение» впервые встречается во  II книге «Начал» Евклида, где даётся его геометрическое построение, равносильное решению уравнения вида х(а + х) = а²

Решение:

х(а + х) = а²

ах + х² = а²

х² + ах – а² = 0

D = (-a)² + 4a² = 5a²

 = a

X₁  =  =

X₂ = -

Отношение x к а может быть так же выражено дробями 2/3,  3/5, 5/8, 8/13, 13/21,…, где 2, 3, 5, 8, 13, 21,… - числа Фибоначчи.

Практическое знакомство с золотым сечением начинают с деления отрезка прямой в золотой пропорции с помощью циркуля и линейки.

Геометрическое построение «золотого сечения» отрезка АВ осуществляется так:  из точки В восставляется перпендикуляр, равный половине АВ. Полученная точка С соединяется линией с точкой А. На полученной линии откладывается отрезок ВС, заканчивающийся точкой D. Отрезок AD переносится на прямую АВ. Полученная при этом точка Е делит отрезок АВ в соотношении золотой пропорции.

Отрезки золотой пропорции выражаются бесконечной иррациональной дробью  AE = 0,618..., если АВ принять за единицу, ВЕ = 0,382... Для практических целей часто используют приближенные значения 0,62 и 0,38. Если отрезок АВ принять за 100 частей, то большая часть отрезка равна 62, а меньшая – 38 частям.

Свойства золотого сечения описываются уравнением:

x² – x – 1 = 0.

Решение этого уравнения:

Все, что приобретало какую-то форму, образовывалось, росло, стремилось занять место в пространстве и сохранить себя. Это стремление находит осуществление в основном в двух вариантах – рост вверх или расстилание по поверхности земли и закручивание по спирали.

Раковина закручена по спирали. Если ее развернуть, то получается длина, немного уступающая длине змеи. Небольшая десятисантиметровая раковина имеет спираль длиной 35 см. Спирали очень распространены в природе. Представление о золотом сечении будет неполным, если не сказать о спирали

Форма спирально завитой раковины привлекла внимание Архимеда. Он изучал ее и вывел уравнение спирали. Спираль, вычерченная по этому уравнению, называется его именем. Увеличение ее шага всегда равномерно. В настоящее время спираль Архимеда широко применяется в технике.

Еще Гете подчеркивал тенденцию природы к спиральности. Винтообразное и спиралевидное расположение листьев на ветках деревьев подметили давно. Спираль увидели в расположении семян подсолнечника, в шишках сосны, ананасах, кактусах и т.д. Совместная работа ботаников и математиков пролила свет на эти удивительные явления природы. Выяснилось, что в расположении листьев на ветке (филотаксис), семян подсолнечника, шишек сосны проявляет себя ряд Фибоначчи, а стало быть, проявляет себя закон золотого сечения. Паук плетет паутину спиралеобразно. Спиралью закручивается ураган. Испуганное стадо северных оленей разбегается по спирали. Молекула ДНК закручена двойной спиралью. Гете называл спираль «кривой жизни».

Среди придорожных трав растет ничем не примечательное растение – цикорий. Приглядимся к нему внимательно. От основного стебля образовался отросток. Тут же расположился первый листок.

Рис. 13. Цикорий

Отросток делает сильный выброс в пространство, останавливается, выпускает листок, но уже короче первого, снова делает выброс в пространство, но уже меньшей силы, выпускает листок еще меньшего размера и снова выброс. Если первый выброс принять за 100 единиц, то второй равен 62 единицам, третий – 38, четвертый – 24 и т.д. Длина лепестков тоже подчинена золотой пропорции. В росте, завоевании пространства растение сохраняло определенные пропорции. Импульсы его роста постепенно уменьшались в пропорции золотого сечения.

Рис. 14. Ящерица живородящая

В ящерице с первого взгляда улавливаются приятные для нашего глаза пропорции – длина ее хвоста так относится к длине остального тела, как 62 к 38.

И в растительном, и в животном мире настойчиво пробивается формообразующая тенденция природы – симметрия относительно направления роста и движения. Здесь золотое сечение проявляется в пропорциях частей перпендикулярно к направлению роста.

Природа осуществила деление на симметричные части и золотые пропорции. В частях проявляется повторение строения целого.

Великий Гете, поэт, естествоиспытатель и художник (он рисовал и писал акварелью), мечтал о создании единого учения о форме, образовании и преобразовании органических тел. Это он ввел в научный обиход термин морфология.

Пьер Кюри в начале нашего столетия сформулировал ряд глубоких идей симметрии. Он утверждал, что нельзя рассматривать симметрию какого-либо тела, не учитывая симметрию окружающей среды.

Закономерности «золотой» симметрии проявляются в энергетических переходах элементарных частиц, в строении некоторых химических соединений, в планетарных и космических системах, в генных структурах живых организмов. Эти закономерности, как указано выше, есть в строении отдельных органов человека и тела в целом, а также проявляются в биоритмах и функционировании головного мозга и зрительного восприятия.

Золотое сечение в искусстве

  Переходя к примерам «золотого сечения» в живописи, нельзя не остановить своего внимания на творчестве Леонардо да Винчи. Его личность – одна из загадок истории. Сам Леонардо да Винчи говорил: «Пусть никто, не будучи математиком, не дерзнет читать мои труды».

     Нет сомнений, что Леонардо да Винчи был великим художником, это  признавали уже его современники, но его личность и деятельность останутся покрытыми тайной, так как он оставил потомкам не связное изложение своих идей, а лишь многочисленные рукописные наброски, заметки, в которых говорится «обо всем на свете».

Портрет «Мона Лиза» (Джоконда) долгие годы привлекает внимание исследователей, которые обнаружили, что композиция рисунка основана на золотых треугольниках, являющихся частями правильного звездчатого пятиугольника..

 В картине Рафаэля "Избиение младенцев" просматривается другой элемент золотой пропорции - золотая спираль. На подготовительном эскизе Рафаэля проведены линии, идущие от смыслового центра композиции - точки, где пальцы воина сомкнулись вокруг лодыжки ребенка - вдоль фигур ребенка, женщины, прижимающей его к себе, воина с занесенным мечом и затем вдоль фигур такой же группы в правой части эскиза. Неизвестно, строил ли Рафаэль золотую спираль или чувствовал её.

Золотое сечение в архитектуре Древней Греции

Скульптор Поликлет разработал идею канона (правила) для изображения пропорционального человеческого тела и наглядно воплотил свой канон в статуе «Дорифор» («Копьеносец»), иначе называвшейся просто «Канон». В пропорциях статуи в изобилии присутствует золотое сечение. Например, отношение высот нижней и верхней частей, на которые статую делит пупок, равно золотому сечению; в свою очередь, основание шеи делит верхнюю часть также в золотом сечении; колени делят нижнюю часть в золотом сечении, и т. д.                                              

В этой статуе мы встречаем много раз применённое число. Так, пупок делит высоту статуи в отношении «золотого сечения». Значит, если принять высоту статуи за 1, то расстояние от основания статуи до пупка = числу М, но тогда расстояние от пупка до верхней точки статуи = 1 – М.

Проверим. Если считать, что 1 – М = М, то приходим к уравнению М² + М – 1  = 0. Откуда М =  , т.е. получили тоже самое значение, которое вычислили ранее.

  (буквенные обозначения использованы в соответствии с данным рисунком)

Золотое сечение часто использовалось древнегреческими архитекторами и скульпторами. Например, оно многократно встречается в пропорциях знаменитого афинского храма Парфенон, построенного Фидием. Известен целый ряд пропорций. Так, приняв за ширину торцевого здания, можно получить геометрическую прогрессию, состоящую из восьми членов: расстояние между второй и седьмой колоннами равно ф, между третьей и шестой – ф², между четвёртой и пятой – ф⁴. Аналогичные закономерности мы видим в построении здания по высоте. Объединив их, мы получим прогрессию: 1, ф, ф², ф³, ф⁴, ф⁵, …, фⁿ.

Здесь следует вспомнить о пропорциях человеческого тела, отмеченных ранее. Сравнивая, видим, что отношение торцевой длины здания к его высоте равно отношению человеческого роста к длине нижней части тела.

Это совпадение не случайно. В своих архитектурных работах древнегреческие мастера исходили из пропорций, которые видели в природе, и прежде всего в пропорциях человеческого тела.

«Золотое сечение» и мода

Тело человека стало пристальным объектом исследований с применением метода «золотого сечения». Учёный Цейзинг проделал колоссальную работу. Он измерил около двух тысяч человеческих тел и пришёл к выводу, что выражает средний статистический закон. Деление тела точкой пупа – важнейший показатель золотого сечения. Пропорции мужского тела колеблются в пределах среднего отношения 13:8 = 1,625 и несколько ближе подходят к золотому сечению, чем пропорции женского тела, в отношении которого среднее значение пропорции выражается в соотношении 8:5 = 1,6.

Для создания гармоничного образа очень важно правильно выбрать пропорцию костюма. С помощью математических соотношений между отдельными частями одежды, правильного определения особенностей фигуры, можно создать лаконичный образ. Мы хотим рассказать вам о применении «золотого сечения» в моде на примере такого элемента одежды, как юбка.

Один из важнейших параметров при пошиве юбки – это её длина. При одном и том же покрое, именно от длины юбки будет зависеть её восприятие. Так же необходимо знать рост.

Существует пять основных видов юбок:

- Микро-мини. Длина этого вида юбки определяется по формуле ДИ(длина изделия)=0,18×Р(рост).

- Юбка-мини. ДИ=0,26×Р. Выбор длины юбки этого вида колеблется в диапазоне от 0,22×Р до 0,3×Р

- Длина до колена. Уровень колена определяется по линии сгиба под коленкой. Формула: ДИ=0,35×Р.

- Юбка-миди. Длина этого вида юбки располагается в интервале от колена до щиколотки. Диапазон длины – от 0,4×Р до 0,55×Р.

- Юбка-макси. Длина такой юбки доходит практически до пола. Формула её расчёта: ДИ=0,62×Р.

Приведённые выше формулы разработаны на основе «золотого сечения» и позволяют создавать модели поясной группы, идеально подходящие каждой девушке.  

Наблюдать и применять

Понимание и использование принципа золотого сечения не должно быть уделом некоей элиты - это самое базовое знание, с которого начинаются бесконечно сложные законы гармонии и соизмерения. Нет границ осмысленному применению этих законов в жизни каждого дня. Выделение главного и второстепенного по отношению к целому может касаться чего угодно. Это и распределение своего времени, и любой творческий процесс, включая все виды искусства, литературу, музыку, и формирование собственного отношения к любым процессам и явлениям. Это и есть тот Золотой, срединный путь, о котором говорили древние.

Каждый художник, каждый режиссер, каждый специалист по рекламе знает, как сделать изображение приятным глазу, как построить его по законам гармонии и психологии человеческого восприятия. Порой злейшие враги культуры достигают значительных побед, используя знания о законах Природы. Так, под видом приятного, располагающего к себе мы нередко допускаем к сердцу сильнейшие яды. Столько люди говорят о свободе, тогда как сами отравляются добровольно, удивляясь потом, откуда их болезни и несчастья.

Не может быть свободы в невежестве. Грубость и неразборчивость вкуса должна преодолеваться. Пусть это будет заботой как отдельных людей, так и общин, и государств.